2010-02-20 - trečia paskaita

Paskutinis taisymas: Vytautas Jakutis 2010 Vas 22, 22:25

1.5. skyrius. Klasikinis tikimybės apibrėžimas

istorija
- tikimybes matematikos šaka pradėjo laikyti J. Bernulis 1713 m. ir De Muaras 1718 m.
- vėliau Laplasas ir D. Bernulis stipriai prisidėjo prie tikimybių teorijos kūrimo
postulatai
1. baigtinumas: $\Omega = \{\omega_1, \omega_2, ..., \omega_n\}$ - elementariųjų įvykių aibė yra baigtinė
2. simetriškumas: elementarieji įvykiai yra vienodai patikimi: $P\left(\omega_0\right) = P\left(\omega_1\right) = ... = P\left(\omega_n\right)$ (čia $P$ galime naudoti, nes žinome reikšmę iš aksiominio tikimybės apibrėžimo)
imkime bet kurį įvykį A iš algebros $\mathfrak{F} = \{ \emptyset, \left(w_1\right), ... \}$
A galime užrašyti tokiu būdu: $A = \{ \omega_{j_1} , \omega_{j_2}, ..., \omega_{j_k} \}$
tada $P\left(A\right) = P\left(\omega_{j_1} \cup \omega_{j_2} \cup ... \cup \omega_{j_k}\right)$
iš to išplaukia, kad $P\left(A\right) = \sum_{n=1}^k P\left( \omega_{j_k} \right)$
$P\left(A\right) = \frac{k}{n} = \frac{\text{palankiu ivykiui A ivykiu skaicius}}{\text{visu elementariuju ivykiu skaicius}} = \frac{|A|}{|\Omega|}$
šiam klasikiniam tikimybės apibrėžimui galioja visos aksiomos (TODO pagrįskite)

A - apvirto lyginis akučių skaičius
- $P\left(A\right) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
B - atvirtusių akučių skaičius yra dalus iš trijų
- $P\left(A\right) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
C - atvirtusių akučių skaičius yra dalus iš septynių
- $P\left(A\right) = \frac{0}{6} = 0$

dėžėje yra N rutulių, tarp kurių yra M baltų, visi kiti nėra balti
atsitiktinai traukiame n rutuliukų
kokia tikimybė, kad ištrauksime m baltų rutuliukų?
- $P = \frac{C^m_M C^{n-m}_{N-M}}{C^n_N}$

N studentų sėdi prie stalo
kokia tikimybė, kad du žymėtieji sėdės greta?
- $P=\frac{\left(N-2\right)! \cdot N \cdot 2}{N!}=\frac{2}{N-1}$

klasikinį apibrėžimą galima apibendrinti ir tam atvejui, kai elementarūs įvykiai nėra vienodai patikimi
$P\left(A\right)=\sum_{i:w_i \in A} P\left(w_i\right)$
$P\left(\omega_k\right) = \frac{1}{2^k}, k \geq 1$
$\sum_{i:w_i \in A} P\left(w_i\right) = \frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}} = 1$

begalinė elementariųjų įvykių aibė
vienodo galimumo principas:
- galimybės patekti į vienodo mato (ilgio, ploto, tūrio) sritis yra vienodos
srities matas
- $P=\frac{|A|}{|\Omega|}$
geometrinėms tikimybėms galioja visos trys aksiomos

skritulyje įbrėžiame taisyklingą keturkampį (kvadratą)
kokia tikimybė, kad atsitiktinai žymėdami tašką skritulyje, pataikysime į kvadratą?
- $\Omega=\{\left(x,y\right): x^2 + y^2 = r\}$
- $A=\{\left(x,y\right) \in \text{kvadratas}\}$
- $P\left(A\right) = \frac{2}{\pi}$