2010-02-09 - antra paskaita

Paskutinis taisymas: Vytautas Jakutis 2010 Vas 22, 22:20

1. skyrius. Pagrindinės sąvokos

Elementariųjų įvykių aibė - žym. omega didžioji -
- omega mažasis - papildinio aibės aibė (gali būti vienas elementas) - $\omega$
- $\Omega = \{ \omega \}$
pavyzdžiai
- monetos metimas: $\Omega = \{ H, S \} = \{ \omega_1, \omega_2 \}$
- monetą mėtome iki pirmo herbo atvertimo: $\Omega = \{ H_1, S_1 H_2, S_1 S_2 H_3, ..., S_1 ... S_{k-1} H_k, ... \}$
- žymime tašką plokštumoje: $\Omega = \{ \omega = (x, y) : (x, y) \in \mathbb{R}^2 \}$
- nagrinėjame kardiogramą: $\Omega = \{ \omega = x(t): x(t) \in \mathbb{C}_{[a, b]} \}$
elementariųjų įvykių aibė - visų eksperimentų baigčių (realizacijų) visuma

1.2. skyrius. Atsitiktiniai įvykiai

...eksperimento rezultatas abstrakčiai...
elementariųjų įvykių aibė $\Omega = \{ \omega_1, \omega_2, \omega_3, ... \}$
sudarykime šios aibės visus galimus skirtingus poaibius - visų atsitiktinių įvykių aibė
- $\{ \emptyset, (\omega_1), (\omega_2), (\omega_3), ..., (\omega_n), (\omega_1 \omega_2), (\omega_1 \omega_3), ... , ..., (\omega_1 \omega_2 \omega_3), ..., \Omega \}$
Apibrėžimas: (algebra) yra:
1. $A \in \mathfrak{F}$ (nuo čia A imamas vadinti atsitiktiniu įvykiu)
2. $A \in \mathfrak{F}$ , $B \in \mathfrak{F}$ (elementų skaičius baigtinis)
3. $A \in \mathfrak{F}$ , $\overline A \in \mathfrak{F}$
Apibrėžimas: algebros $\mathfrak{F}$ elementą vadiname atsitiktiniu įvykiu
teiginiai
- Jei $A \in \mathfrak{F}$ , $B \in \mathfrak{F}$ , tai $A B \in \mathfrak{F}$ , $A \setminus B \in \mathfrak{F}$
- $\mathfrak{F}$ yra uždara algebra veiksmų (iš viso trys) su atsitiktiniais įvykiais aibėje
- $\emptyset \in \mathfrak{F}$
- $A A = A$
Tarkime, kad nėra baigtinė (kontinuumo arba dar galingesnė), tada atsitiktinio įvykio A apibrėžime 2. sąlyga keičiama 2'. sąlyga:
- jeigu $A_1, A_2, ..., A_n, ... \in \mathfrak{F}$ , tada reikalaujame, kad $\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n \in \mathfrak{F}$
- primena matematinės indukcijos metodas, kuriuo įrodome 2. sąlygos tinkamumą baigtinėms aibėms
- jei $\mathfrak{F}$ apibrėžiame su 1., 2'. ir 3., tai sakome, kad $\mathfrak{F}$ yra $\sigma$ algebra
- $\sigma$ elementą vadiname atsitiktiniu įvykiu
įvykius A ir B vadiname nesutaikomais, jeigu $A B = \emptyset$
pilnoji įvykių grupė: sakome, kad įvykiai sudaro pilnąją įvykių grupę, jeigu:
- jie yra poromis nesutaikomi
- $\bigcup_{k=1} A_k = \Omega$ sąjunga yra būtinas įvykis
Morgano formulės
- $\overline{ A \vee B } = \overline{A} \overline{B}$
- $\overline{ A B } = \overline{A} \vee \overline{B}$

1.3. skyrius. Statistinis tikimybės apibrėžimas

tarkime, atliekame eksperimentą, kurio metu gali pasirodyti įvykis
- jeigu pakartojus eksperimentą $n$ kartų įvykis $A$ pasirodo $k$ kartų, tai šio įvykio santykinis dažnis $W(A) = \frac{k}{n}$
- kartokime šią procedūrą, tarkime, kartų. Gausime šio įvykio santykinius dažnius
  - $W_1(A) = \frac{k_1}{n}$
  - $W_2(A) = \frac{k_2}{n}$
  - ...
  - $W_s(A) = \frac{k_s}{n}$
- jeigu santykiniai dažniai esant dideliam s telkiasi apie $W_1(A) \approx W_2(A) \approx W_3(A) ... \approx P$ , tai skaičius $P$ yra vadinamas įvykio $A$ statistine tikimybe
- istoriniai pavyzdžiai
  - Karlas Pyrsonas metė monetą 24000 kartų, tai herbas iškrito 12012, $W(A)=\frac{12012}{24000} \approx 0.5005$

1.4. skyrius. Aksiominis tikimybės apibrėžimas

Kolmogorovas, 1933
$A \in \mathfrak{F}$ , $B \in \mathfrak{F}$
įvykio tikimybe P vadiname skaitinę funkciją, tenkinančią tokias savybes (aksiomas):
1. $P(A) \geq 0$
2. $P(\Omega) = 1$
3. adityvumo savybė: $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ , jeigu tik $A B = \emptyset$
visiško adityvumo savybė: $P(\cup^\infty_{k=1} A_k) = \sum_{k=1}^\infty P(A_k)$ , jeigu tik $A_k A_m = \emptyset$ su visais $k \neq m$
tolydumo aksioma
- tarkime, kad turime įvykių seką $A_1 \supset A_2 \supset A_3 \supset ... \supset A_n \supset ...$
- tada $\lim_{n \to \infty} P(A_n) = P(A)$ , jeigu tik $\bigcap_{k=1}^\infty A_k = A$
taip pat, jei 1, 2 ir vietoj 3 - 3', tai gaunama tolydumo aksioma
taip pat, jei 1, 2 ir vietoj 3 - tolydumo aksioma, tai 3'
aksiominis apibrėžimas yra neprieštaraujantis ir nepilnas
pavyzdys:
- $(H, S) = (w_1, w_2)$
- $\mathfrak{F} = \{ \emptyset, (H), (S), \Omega \}$
- , ,
  - $P(A) \geq 0$
  - $P(\Omega) = 1$
  - $P(H \cup S) = \frac{2}{2} = P(H) + P(S) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}$