Begalinių skaičių eilučių k... - Matematinė analizė

feedback

Begalinių skaičių eilučių konvergavimo požymiai (convergence tests of infinite series)

Paskutinis taisymas: Vytautas Jakutis 2009 Grd 01, 03:24

Būtinasis požymis (limit of the summand)

Jei $\lim_{n \to \infty} a_n != 0$ , tai $\sum_{n=1}^\infty a_n$ diverguoja.

Koši požymis (Cauchy's test)

$\sum_{n=1}^\infty a_n$ konverguoja tada ir tik tada, kai $\forall \epsilon > 0 \exists N\colon n > N \wedge \forall p \in \mathbb N \Rightarrow \lvert S_{n + p} - S_n \rvert < \epsilon \Leftrightarrow \lvert a_{n+1} + a_{n+2} + \dotsb + a_{n+p} \rvert < \epsilon$

Palyginimo požymis (comparison test)

Jei turime $\sum_{n=1}^\infty a_n, a_n > 0$ ir $\sum_{n=1}^\infty b_n, b_n > 0$ , kurių nariai $\forall n \in \mathbb N$ tenkina sąlygą $a_n \leq b_n$ , tai:

jei $\sum_{n=1}^\infty a_n$ diverguoja, tai diverguoja ir $\sum_{n=1}^\infty b_n$
jei $\sum_{n=1}^\infty b_n$ konverguoja, tai konverguoja ir $\sum_{n=1}^\infty a_n$

Ribinis palyginimo požymis (limit comparison test)

Jei turime $\sum_{n=1}^\infty a_n, a_n > 0$ ir $\sum_{n=1}^\infty b_n, b_n > 0$ ir egzistuoja $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = K > 0 (K != \infty)$ , tai $\sum_{n=1}^\infty a_n$ konverguoja tada ir tik tada, kai konverguoja $\sum_{n=1}^\infty b_n$

Koši radikalusis požymis (root test)

Jei turime $\sum_{n=1}^\infty a_n, a_n > 0$ ir egzistuoja $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = L$ , tai:

jei $L < 1$ , tai eilutė konverguoja
jei $L > 1$ , tai eilutė diverguoja

Dalambero požymis (ratio test)

Jei turime $\sum_{n=0}^\infty a_n, a_n > 0$ ir baigtinę $L = \lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| != 1$ , tai:

jei $L < 1$ , tai eilutė konverguoja absoliučiai
jei $L > 1$ , tai eilutė diverguoja

Rabės požymis (extended ratio test, when L=1)

Jei turime $\sum_{n=0}^\infty a_n, a_n > 0$ ir $\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = 1$ bei $\lim_{n \to \infty} n ( \frac{a_{n+1}}{a_n} - 1) < -1$ , tai eilutė konverguoja absoliučiai.

Koši-Makloreno integralinis požymis (integral test)

Jei turime $N \in \mathbb Z$ ir neneigiamą, monotiniškai mažėjančią funkciją $f$ apibrėžtą intervale $[N,\infty)$ , tai $\sum_{n=N}^\infty f(n)$ konverguoja tada ir tik tada, kai konverguoja $\int_N^\infty f(x)\, dx$

Leibnico požymis (alternating series test)

Jeigu $\sum_{n=1}^\infty a_n$ alternuoja, $a_n = (-1)^{n+1} c_n$ , $c_{n+1} < c_n, n \geq 1$ ir $\lim_{n \to +\infty} c_n = 0$ , tai $\sum_{n=1}^\infty a_n$ konverguoja.